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\CTEXsetup[format={\Large\bfseries}]{section}

\title{曲率流速度场测试}


\begin{document}
\maketitle
\vspace{-3em}
\section{单位圆测例}

以下测试在一个单位圆上均匀取点，并计算由这些示踪点得到的曲率流的速度场。
测试曲线如下：
\begin{equation}
  \left\{
  \begin{array}{l}
    x=\cos{t},\\
    y=\sin{t},\\
    t \in [0,2\pi].
  \end{array}
  \right.
\end{equation}  
测试结果如表\ref{tab:circle1}和\ref{tab:circle2}所示，所用误差范数
$\|\mathrm{E}\|_1$和$\|\mathrm{E}\|_{\infty}$是与精确解之间的网格1-范数
和无穷范数。我们发现结果可以达到相应的收敛阶。

\begin{table}[htbp]
    \centering\begin{tabular}{c|ccccccccc}
        \hline
         &$n=64$&ratio&128&ratio&256&ratio&512&ratio&1024\\
        \hline
        $\|\mathrm{E}\|_1$&5.12e-3&2.01&1.27e-3&2.01&3.17e-4&2.00&7.90e-5&2.00&1.97-5\\
        \hline
        $\|\mathrm{E}\|_{\infty}$&8.03e-4&2.00&2.01e-4&2.00&5.02e-5&2.00&1.26e-5&2.00&3.14e-6\\
        \hline
    \end{tabular}
    \caption{单位圆测例: 误差及收敛阶，$r = 2$}
    \label{tab:circle1}
  \end{table}

  \begin{table}[htbp]
    \centering\begin{tabular}{c|ccccccccc}
        \hline
         &$n=64$&ratio&128&ratio&256&ratio&512&ratio&1024\\
        \hline
        $\|\mathrm{E}\|_1$&4.93e-6&4.01&3.06e-7&4.01&1.91e-8&4.00&1.19e-9&3.79&8.63e-11\\
        \hline
        $\|\mathrm{E}\|_{\infty}$&7.73e-7&4.00&4.84e-8&4.00&3.03e-9&3.93&1.98e-10&1.69&6.13e-11\\
        \hline
    \end{tabular}
    \caption{单位圆测例: 误差及收敛阶，$r = 4$}
    \label{tab:circle2}
  \end{table}

  \section{星型线测例}

以下测试在一个星型曲线上取点，并计算由这些示踪点得到的曲率流的速度场。
测试曲线如下：
\begin{equation}
  \left\{
  \begin{array}{l}
    x=(1+0.3\cos{6t})\cos{t},\\
    y=(1+0.3\cos{6t})\sin{t},\\
    t \in [0,2\pi].
  \end{array}
  \right.
\end{equation}

\begin{figure}[!htp]                                                                       
  \centering                                                                           
  \includegraphics[width=8cm]{star.eps}                                           
  \caption{星型线}                        
\end{figure}

\newpage 测试结果如表\ref{tab:star1}和\ref{tab:star2}所示，所用误差范数
$\|\mathrm{E}\|_1$和$\|\mathrm{E}\|_{\infty}$是与参考解之间的网格1-范数
和无穷范数，参考解是对示踪点列进一步加密的结果。我们发现结果可以达到相应的收敛阶。

\begin{table}[htbp]
    \centering\begin{tabular}{c|ccccccc}
        \hline
         &$n=256$&ratio&512&ratio&1024&ratio&2048\\
        \hline
        $\|\mathrm{E}\|_1$&2.10e-1&1.99&5.29e-02&2.02&1.30e-2&2.07&3.11e-3\\
        \hline
        $\|\mathrm{E}\|_{\infty}$&1.02e+0&1.93&2.68e-1&2.00&6.71e-2&2.07&1.60e-2\\
        \hline
    \end{tabular}
    \caption{星型线测例: 误差及收敛阶，$r = 2$}
    \label{tab:star1}
  \end{table}

  \begin{table}[htbp]
    \centering\begin{tabular}{c|ccccccc}
        \hline
         &$n=256$&ratio&512&ratio&1024&ratio&2048\\
        \hline
        $\|\mathrm{E}\|_1$&5.83e-2&3.78&4.24e-3&3.96&2.72e-4&4.00&1.70e-5\\
        \hline
        $\|\mathrm{E}\|_{\infty}$&3.27e-1&3.53&2.82e-2&3.89&1.91e-3&3.98&1.21e-4\\
        \hline
    \end{tabular}
    \caption{星型线测例: 误差及收敛阶，$r = 4$}
    \label{tab:star2}
\end{table}







\end{document}
